Сумма квадратов корней квадратного уравнения является важной характеристикой, которая может быть выражена через коэффициенты самого уравнения. Рассмотрим методы ее вычисления и практическое применение.
Содержание
1. Основная формула
Для квадратного уравнения общего вида:
ax² + bx + c = 0
Сумма квадратов его корней (x₁² + x₂²) выражается через коэффициенты уравнения следующей формулой:
| Выражение | Формула |
| Сумма квадратов корней | (b² - 2ac)/a² |
2. Вывод формулы
Формула выводится из теоремы Виета и алгебраических преобразований:
- По теореме Виета: x₁ + x₂ = -b/a
- И x₁·x₂ = c/a
- Возведем сумму корней в квадрат: (x₁ + x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂² = b²/a²
- Выразим сумму квадратов: x₁² + x₂² = b²/a² - 2c/a
- Приведем к общему знаменателю: x₁² + x₂² = (b² - 2ac)/a²
3. Пример вычисления
Рассмотрим уравнение: 2x² - 5x + 3 = 0
| Параметр | Значение |
| Коэффициенты | a=2, b=-5, c=3 |
| Сумма квадратов | ((-5)² - 2·2·3)/2² = (25-12)/4 = 13/4 = 3.25 |
4. Применение формулы
Знание суммы квадратов корней полезно для:
- Проверки правильности найденных корней
- Решение задач с параметрами
- Анализа свойств квадратного уравнения
- Преобразования алгебраических выражений
5. Дополнительные соотношения
Аналогичным образом можно выразить другие комбинации корней:
- Сумма кубов: x₁³ + x₂³ = (-b³ + 3abc)/a³
- Сумма обратных значений: 1/x₁ + 1/x₂ = -b/c
- Сумма квадратов обратных значений: 1/x₁² + 1/x₂² = (b² - 2ac)/c²
Заключение
Формула суммы квадратов корней квадратного уравнения позволяет установить связь между корнями и коэффициентами без непосредственного решения уравнения. Это мощный инструмент алгебры, находящий применение в различных математических задачах и исследованиях.
